3 Punkte -> Parabelgleichung

[Juergen Klein]

Hallo,

ich suche eine Lösung für folgendes Problem:

Eine quadratische Parabel sei gegeben durch 3 Punkte, z.B.:

X1 = 3 y1 = 26
x2 = 5 y2 = 62
x3 = 9 y2 = 182

gesucht sind die Koeffizienten a, b und c der Normalform

f(x) = ax^2+bx+c

Die Parabel kann nach oben oder unten geöffnet sein, jedoch nicht
seitlich oder schräg liegen (Funktion).

Es geht bei der Sache darum, aus einzelnen Meßwerten, bei denen
eine (näherungsweise) quadratische Funktion zugrunde gelegt werden
kann, eben diese Funktion herzuleiten bzw. mit einem Diagramm
darzustellen.

Das Diagramm kriege ich schon hin. Ich bitte lediglich um etwas
Unterstützung bei meiner angeborenen Rechenschwäche :-)

[Christian Küken]

Post by Juergen Klein
X1 = 3 y1 = 26
x2 = 5 y2 = 62
x3 = 9 y2 = 182
gesucht sind die Koeffizienten a, b und c der Normalform
f(x) = ax^2+bx+c
Die Parabel kann nach oben oder unten geöffnet sein, jedoch nicht
seitlich oder schräg liegen (Funktion).
Es geht bei der Sache darum, aus einzelnen Meßwerten, bei denen
eine (näherungsweise) quadratische Funktion zugrunde gelegt werden
kann, eben diese Funktion herzuleiten bzw. mit einem Diagramm
darzustellen.
Das Diagramm kriege ich schon hin. Ich bitte lediglich um etwas
Unterstützung bei meiner angeborenen Rechenschwäche :-)

Hi,

sowas aus den Punkten "von Hand" herzuleiten kann ich leider auch nicht
mehr. Ich helfe mir immer mit Excel. Damit kann man zumindest mit Hilfe der
Trendlinienfunktion in Diagrammen eine Gleichung von Excel erstellen
lassen, die den Zusammenhang (für mich) ausreichend annähert.

Dein Beispiel ergibt z.B.: y = 2x^2 + 2x + 2

D.h. Du lässt Dir in Excel ein Punktdiagramm erstellen (ohne Linie) und
klickst dann die Messreihe im Diagramm mit rechts an. Über die Funktion
"Trendlinie anzeigen" wird ein Graph gezeichnet, der die Messreihe mit
möglichst kleinen Fehlerquadraten abbildet. Als Ergebnis sind für die
Trendfunktion verschiedene Grundgleichungen (linear, logarithmisch,
quadratisch, etc.) wählbar. Über "Gleichung im Diagramm anzeigen" bekommst
Du die (hoffentlich) von Dir gesuchte Gleichung.


Ich hoffe, dass ich Dir weiterhelfen konnte.

Ciao

CHRiSTiAN.

[Juergen Klein]

Hallo, Christian Küken

Post by Christian Küken
sowas aus den Punkten "von Hand" herzuleiten kann ich leider auch nicht
mehr.

Ich sehe, ich bin nicht allein ...

Post by Christian Küken
Ich helfe mir immer mit Excel. Damit kann man zumindest mit Hilfe der
Trendlinienfunktion

Schon klar, nützt mir aber nicht viel. Ich brauche die Gleichung, so daß
ich auch beliebige andere Funktionswerte damit ausrechnen kann.

Das geht auch irgendwie. Im Studium hatten wir dafür mal ein kleines
Basic Programm auf dem Sharp Taschenrechner. Ist aber leider
nicht mehr greifbar.

Post by Christian Küken
Ich hoffe, dass ich Dir weiterhelfen konnte.

Im moralischen Sinne schon :-)

[Christian Küken]

Post by Juergen Klein

Post by Christian Küken
Ich helfe mir immer mit Excel. Damit kann man zumindest mit Hilfe der
Trendlinienfunktion

Schon klar, nützt mir aber nicht viel. Ich brauche die Gleichung, so daß
ich auch beliebige andere Funktionswerte damit ausrechnen kann.

Hast Du mein Posting bezüglich der Trendlinienfunktion zu Ende gelesen?
Wenn die eingegebenen Werte *genau* auf dem Graphen liegen, dann ist die
Funktion der Trendlinie mit der der Funktion identisch. Die quadratische
Gleichung, die ich aufgeführt habe löst Deine Parabel.

Schau es Dir doch nochmal an.


Grüsse.

Christian.

[Anton Haumer]

Post by Juergen Klein
Hallo,
X1 = 3 y1 = 26
x2 = 5 y2 = 62
x3 = 9 y2 = 182
gesucht sind die Koeffizienten a, b und c der Normalform
f(x) = ax^2+bx+c
Die Parabel kann nach oben oder unten geöffnet sein, jedoch nicht
seitlich oder schräg liegen (Funktion).
Es geht bei der Sache darum, aus einzelnen Meßwerten, bei denen
eine (näherungsweise) quadratische Funktion zugrunde gelegt werden
kann, eben diese Funktion herzuleiten bzw. mit einem Diagramm
darzustellen.
Das Diagramm kriege ich schon hin. Ich bitte lediglich um etwas
Unterstützung bei meiner angeborenen Rechenschwäche :-)
--
Jürgen

1. Lösung:
a*x1^2 + b*x1 + c = y1
a*x2^2 + b*x2 + c = y2
a*x3^2 + b*x3 + c = y3
ist bei gegebenem x1, y1, x2, y2, x3, y3
ein lineares Gleichungssystem in a, b, c.
Googeln ...
oder im Mittelschul-Mathebuch nachschlagen ;-)

2. Lösung:
Bemühe den Solver von Excel.
A1 = 1 ... a (Startwert)
A2 = 1 ... b (Startwert)
A3 = 1 ... c (Startwert)
B1 = 3 ... x1
B2 = 5 ... x2
B3 = 9 ... x3
B1 = 26 ... y1
B2 = 62 ... y2
B3 = 182 ... y3
D1 = Abs(A1*B1^2+A2*B1+A3-C1)
D2 = Abs(A1*B2^2+A2*B2+A3-C2)
D3 = Abs(A1*B3^2+A2*B3+A3-C3)
D4 = Summe(D1:D3) ... Summenabweichung
Extras - Solver
Zielzelle: $D$4
Wert: 0
Veränderbare Zellen: $A$1:$A$3
Lösen
Kannst mit men Optionen ein wenig experimentieren ...

HTH + Servus, Toni

[Juergen Klein]

Hallo, Anton Haumer

Post by Anton Haumer
a*x1^2 + b*x1 + c = y1
a*x2^2 + b*x2 + c = y2
a*x3^2 + b*x3 + c = y3
ist bei gegebenem x1, y1, x2, y2, x3, y3
ein lineares Gleichungssystem in a, b, c.

Hmm... linear???

Post by Anton Haumer
Googeln ...
oder im Mittelschul-Mathebuch nachschlagen ;-)

Möglicherweise hätte ich die Frage anders formulieren sollen:

Wie löse ich obiges Gleichungssystem ohne Interpolation etc. mit Excel?

[steve nessi]

Hallo Juergen,

ich weiß nicht, ob du nur eine lösung für dein spezielles Problem suchst (I)
oder ob du eine allgemeine lösung suchst (II) oder ob du ein num(m)erisches
lösungsverfahren für gleichungssysteme suchst (III).

zu (I): a=b=c=2
zu (II): habe nur denselben tip(p) wie anton -> gleichungssystem lösen
zu (III): es gibt viel literatur dazu. eine gute formelsammlung braucht ein
excel-anwender ohnehin. ich empfehle: "taschenbuch mathematischer formeln und
moderner verfahren", prof. dr. horst stöcker, isbn 3-8171-1461-3. in der
3.auflage (1995) findest du das gesuchte auf seite 424ff.

gruß, sn

Post by Juergen Klein
Hallo, Anton Haumer

Post by Anton Haumer
a*x1^2 + b*x1 + c = y1
a*x2^2 + b*x2 + c = y2
a*x3^2 + b*x3 + c = y3
ist bei gegebenem x1, y1, x2, y2, x3, y3
ein lineares Gleichungssystem in a, b, c.

Hmm... linear???

Post by Anton Haumer
Googeln ...
oder im Mittelschul-Mathebuch nachschlagen ;-)

Wie löse ich obiges Gleichungssystem ohne Interpolation etc. mit Excel?
--
Jürgen

[Anton Haumer]

Hi Jürgen

Post by Juergen Klein
Hallo, Anton Haumer

Post by Anton Haumer
a*x1^2 + b*x1 + c = y1
a*x2^2 + b*x2 + c = y2
a*x3^2 + b*x3 + c = y3
ist bei gegebenem x1, y1, x2, y2, x3, y3
ein lineares Gleichungssystem in a, b, c.

Hmm... linear???

etwa nicht? In Matrizenschreibweise:

x1^2 x1 1 a y1
x2^2 x2 1 * b = y2
x3^2 x3 1 c y3

Lösung siehe unten ...

Post by Juergen Klein

Post by Anton Haumer
Googeln ...
oder im Mittelschul-Mathebuch nachschlagen ;-)

Wie löse ich obiges Gleichungssystem ohne Interpolation etc. mit Excel?
--
Jürgen

Was meinst Du mit Interpolation?

1. Lineares Gleichungssystem analytisch lösen
und Formeln in Excel ablegen:

a = x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2)/N
b = x1^2*(y3-y2)+x2^2*(y1-y3)+x3^2*(y2-y1)/N
c = x1^2*(x3*y2-x2*y3)+x2^2*(x1*y3-x3*y1)+x3^2*(x2*y1-x1*y2)/N
N = (x1-x2)*(x2-x3)*(x3-x1)

2. Solver wie beschrieben (das ist keine Interpolation)!

Servus, Toni

[Eberhard Funke]

Post by Juergen Klein
Hallo,
X1 = 3 y1 = 26
x2 = 5 y2 = 62
x3 = 9 y2 = 182
gesucht sind die Koeffizienten a, b und c der Normalform
f(x) = ax^2+bx+c
Die Parabel kann nach oben oder unten geöffnet sein, jedoch nicht
seitlich oder schräg liegen (Funktion).
Es geht bei der Sache darum, aus einzelnen Meßwerten, bei denen
eine (näherungsweise) quadratische Funktion zugrunde gelegt werden
kann, eben diese Funktion herzuleiten bzw. mit einem Diagramm
darzustellen.
Das Diagramm kriege ich schon hin. Ich bitte lediglich um etwas
Unterstützung bei meiner angeborenen Rechenschwäche :-)

Hallo Juergen,

war zwar lange her, aber so müsste es gehen:

die x-Werte in A1:A3, Die y in B1:B3
a=((B3-B2)-((A3-A2)/(A2-A1))*(B2-B1))/((A3^2-A2^2)-((A3-A2)/(A2-A1))*(A2^2-A1^2))
b=((B2-B1)-A7*(A2^2-A1^2))/(A2-A1)
c=B1-A7*A1^2-A8*A1

[Juergen Klein]

Hallo, Eberhard Funke

Post by Eberhard Funke
die x-Werte in A1:A3, Die y in B1:B3
a=((B3-B2)-((A3-A2)/(A2-A1))*(B2-B1))/((A3^2-A2^2)-((A3-A2)/(A2-A1))*(A2^2-A1^2))
b=((B2-B1)-A7*(A2^2-A1^2))/(A2-A1)
c=B1-A7*A1^2-A8*A1

Sieht auf den ersten Blick gut aus.

Sagen wir mal so:

a=2, b=3, c=4

damit ergibt sich für x =1...3:

x1 = 1 y1 = 2
x2 = 2 y2 = 4
x3 = 3 y2 = 8

nach Deiner Formel kommt dann für a 1 raus.
bei den Formeln für b und c rätsle ich noch, was A7 und A8 sein soll.

Stehe ich auf dem Schlauch?

Ging da nicht noch was mit Matrixformeln, Determinanten oder sowas?

Eberhard, einen haben wir noch...

[Juergen Klein]

Hallo, Juergen Klein,

sorry, habe es endlich geblickt.

Funktioniert bestens.

Danke vielmals,Eberhard!

[Eberhard Funke]

Post by Juergen Klein
sorry, habe es endlich geblickt.
Funktioniert bestens.
Danke vielmals,Eberhard!

Hallo Juergen,

schön dass Du trotz meiner schlampigen Anweisung verstanden hast:
die Formel für a steht in A7, die für b in A8, und die für c kann sonstwo
stehen, worauf ja auch Steve schon hingewiesen hatte. Sorry.

Danke auch für die Rückmeldung.

[steve nessi]

in eberhards antwort steht in A7 die berechnung von a und in A8 die von b

Post by Juergen Klein
Hallo, Eberhard Funke

Post by Eberhard Funke
die x-Werte in A1:A3, Die y in B1:B3
a=((B3-B2)-((A3-A2)/(A2-A1))*(B2-B1))/((A3^2-A2^2)-((A3-A2)/(A2-A1))*(A2^2-A1^2))
b=((B2-B1)-A7*(A2^2-A1^2))/(A2-A1)
c=B1-A7*A1^2-A8*A1

Sieht auf den ersten Blick gut aus.
a=2, b=3, c=4
x1 = 1 y1 = 2
x2 = 2 y2 = 4
x3 = 3 y2 = 8
nach Deiner Formel kommt dann für a 1 raus.
bei den Formeln für b und c rätsle ich noch, was A7 und A8 sein soll.
Stehe ich auf dem Schlauch?
Ging da nicht noch was mit Matrixformeln, Determinanten oder sowas?
Eberhard, einen haben wir noch...
--
Jürgen

[Jean Ruch]

Post by Juergen Klein
Hallo,
X1 = 3 y1 = 26
x2 = 5 y2 = 62
x3 = 9 y2 = 182
gesucht sind die Koeffizienten a, b und c der Normalform
f(x) = ax^2+bx+c

Hallo Jürgen,

Mit Deinen Daten kannst Du schreiben

1) 9a + 3b + c = 26
2) 25a + 5b + c = 62
3) 81a + 9b + c = 182

Um dieses Gleichungssystem zu lösen
subtrahiere z.B. 1) von 2) . Dies ergibt
4) 16a + 2b = 36

Desgleichen Subtrahiere 2) von 3), mit dem Ergebnis:
5) 56a + 4b = 120

Multipliziere Ergebnis 4) mit 2 ( => 32a + 4b = 72 so ist der
Koeffizient von b gleich in beiden) und zieh es von 5) ab ; das
ergibt
24a = 48 woraus a = 2

Das Ergebnis 32a + 4b = 72 kannst Du auch schreiben 4b = 72 - 32a
ersetze a durch seinen Wert "2" und Du erhälst 4 b = 72 - 64 = 8
und b = 8/4 = 2

Ersetze nun a und b noch z.B. in Gl 3)

81*2 + 9*2 + c = 182 oder:

c = 182 - 162 -18 = was auch nochmal 2 ergibt

Deine Gleichung ist also y = 2 x^2 + 21 x +2, so wie sie die
Trendlinie auch gibt....



Ist Dir das Ergebnis etwas klarer geworden ?

mit freundlichem Gruß

Jean